• f′′(x) = 0 (Notwendige Bedingung) Die Nullstellen der 2. Gebrochen-rationale Funktionen _____ Wir zeichnen die Graphen der Funktionen ² und f : x → y = x − 1 g : x → y = 1 x −1 Wertetabelle : x −4 0 0,5 0,8 1 1,2 1,5 2 6 ... heißt gebrochen rationale Funktion. Gebrochenrationale Funktionen Aufgabe 1 Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = x 1 1 Lösung: Hier ist der maximale Definitionsbereich nicht R, denn im der Nenner wird für x = 1 Null und man würde durch Null teilen. In Abh˜angigkeit vom Z ˜ahlergrad n und Nennergrad m unterscheidet man dabei folgende F˜alle: n < m: Die x-Achse ist waagrechte Asymptote (yAsymptote = 0) n = m: Eine Parallele zur x … Seite 1 von 8 Gebrochen-rationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Nenner x befindet. Werden die Funktionswerte in der Nähe einer Definitionslücke beliebig groß bzw. Das Verhalten der Funktion f ist nun identisch mit dem des ganz-rationalen Die Nullstellen des Nennerpolynoms können nicht in der Definitionsmenge enthalten sein und werden deshalb als Definitionslücken bezeichnet. Gebrochen-rationale Funktionen nomdivision der Z ahlerfunktion durch die Nennerfunktion. Unecht gebrochen rationale Funktionen. Dabei setzt sich der Funktionsterm aus dem Z˜ahlerpolynom vom Grad n und dem Nennerpolynom vom Grad m zusam-men. Kurvendiskussion gebrochen rationaler Funktionen Zum Unterschied zu Polynomfunktionen sind rationale Funktionen nicht überall definiert. Ableitung bestimmen (x0,x1..). b) gebrochen rationale Funktion; Definitionslücken bei x = –1; x = 3 c) kann man im Sinne der Definition (Schülerbuch S. 8) als gebrochen rational bezeichnen (das Polynom im Nenner hat den Grad 0), wenn auch ohne Definitionslücke und den typischen Eigen- 4.Fall: n>m+ 1 Auch hier f uhren wir eine Polynomdivision der Z ahlerfunktion durch die Nennerfunktion durch. (Achsen beschriften und Punkte als kleines Kreuz markieren, senkrechte und waagrechte Asymptoten im 2. Aus diesem Grund muss man die Nullstellen des Polynoms im Nenner aus dem Definitionsbereich nehmen: D = R \ {1}. Dies ist jedoch keine Funktion auf ganz R. Rmuss um die Nullstellen des Nennerpolynoms, den Definitionsl¨ucken, vermindert werden. Gebrochen rationale Funktion Zählergrad < Nennergrad Wendepunkte und das Krümmungsverhalten Im Wendepunkt und im Flachpunkt ist das Krümmungsver-halten gleich Null. f(x) = x x2 − 3x. Hefteintrag (bitte abschreiben und zeichnen!) §1 einer Asymptote an. Beispiel 1: Diskutiere die Funktion f(x) = x3 x2−4 und zeichne den Graphen im Intervall [−6;6]. Sie wird in der Abbildung durch den pinken Kreis veranschaulicht. ↑ Gebrochen rationale Funktionen Typisches Der Quotient zweier Polynome f(x) = Z(x) N(x) f¨uhrt zu einer gebrochen rationalen Funktion, wie z.B. Merke: Für gebrochenrationale Funktionen ist in beiden Fällen bei den Nullstellen des Nenners eine hebbare Definitionslücke gegeben, die nach dem Kürzen nicht mehr erkennbar ist! Verhalten in der Umgebung von Definitionslücken Definition 1: Funktionen der Form mit zwei Polynomen und heißen gebrochen rationale Funktionen. Graphen gebrochen rationaler Funktionen 1.1. Zur Unterscheidung zwischen Wendepunkt und Flachpunkt wer- Sie wird durch den ganz-rationalen Teil des zerlegten Quotienten gebildet. Gebrochen rationale Funktionen n˜ahern sich f ˜ur x ! 5 Gebrochen rationale Funktionen Unter einer gebrochen rationalen Funktion versteht man den Quotienten zwei-er ganzrationaler Funktionen.